Для оценки результатов в казино важно понимать статистику, которая позволяет определить, зависят ли результаты от удачи или умения. Здесь я применю статистический анализ к игре в блэкджек, но с минимальными усилиями это можно применить к любой игре в казино.

Блэкджек не следует традиционным математическим законам азартных игр. Большинство игр случая отражают математическую концепцию, известную как «закон независимых испытаний», который утверждает, что прошлые события не имеют никакого отношения к будущим событиям.

Если монету подбросить, то есть 50% шанс, что выпадет орёл, и 50% шанс, что выпадет решка. Если монета выпадет орлом 10 раз подряд, то следующее подбрасывание снова имеет 50% шанс выпасть орлом. В блэкджеке то, что произошло в прошлом, непосредственно влияет на будущее. В блэкджеке есть память, и закон независимых испытаний не работает.

Исследование преимуществ

В блэкджеке каждая карта имеет определенное значение, которое добавляет или вычитает из начального преимущества, которое есть у казино перед игроком. Когда сдаются достаточно подходящих карт, преимущество переходит на сторону игрока.

В блэкджеке, когда сдаются туз или карта достоинством 10, преимущество казино над игроком увеличивается. Когда играются карты с меньшими достоинствами, преимущество казино уменьшается, и когда сдаются достаточно таких карт, игрок получает преимущество над казино.

Когда остается множество карт с высокими достоинствами, игрок имеет преимущество над казино. Это происходит по нескольким причинам. Во-первых, блэкджеки сдаются чаще, и поскольку выплата за блэкджек асимметрична (игрок получает 3:2 за блэкджек игрока, но теряет только свою начальную ставку за блэкджек дилера), это выгодно для игрока.

Во-вторых, некоторые варианты хода игрока становятся более ценными, такие как разделение и удвоение ставки. Обычно игрок хотел бы видеть высокую карту при удвоении ставки или разделении, или игрок использует эти варианты, когда дилер слаб и вероятнее всего переберется с высокой картой.

Эти ходы приносят больше выгоды, когда колода богата картами с высокими достоинствами. Наконец, игрок может изменить свою стратегию в зависимости от состава оставшихся карт. С избытком высоких карт игрок может стоять на более жестких руках (суммы от 12 до 16), чаще удваивать ставки сильных сумм или когда дилер слаб и вероятен перебор. В то время как правила запрещают дилеру менять свою стратегию.

Внутри цифр

Стратегия, которая дает преимущество в 1%, означает, что для каждой руки блэкджека, которая сыграна на 100 долларов, математическое ожидание составляет 1 доллар. Это рассчитывается с помощью уравнения математического ожидания в уравнении 1.

МО = РАЗМЕР СТАВКИ (X) % ПРЕИМУЩЕСТВО (X) КОЛИЧЕСТВО РУК

Уравнение 1

Если мы применим сценарий математического ожидания к подбрасыванию монеты, мы знаем, что у монеты две стороны, поэтому у нас есть 50% шанс выпасть орлом и 50% шанс выпасть решкой, поэтому уравнение для того, сколько орлов мы ожидаем при 100 подбрасываниях монеты, приведено в уравнении 2. Это уравнение с одной переменной, и размер ставки можно установить равным 1.

МО = ½ (X) 100

Уравнение 2

Когда монета подбрасывается 100 раз, результат редко бывает точно 50 орлов и 50 решек. Поэтому мы должны ввести понятие дисперсии для числа событий. Дисперсия — это мера статистической разброса. В общем понимании это связано с тем, насколько результат испытания или эксперимента отклоняется от математического ожидания.

Чтобы остаться в пределах примера с подбрасыванием монеты, дисперсия помогает ответить на вопрос, удивительно ли было бы, если бы мы получили 45 орлов из 100 испытаний, или же получить всего 5 орлов из 100 подбрасываний монеты. Ответы будут «нет» и «да». Получение всего 5 орлов из 100 подбрасываний монеты практически доказывает, что вы подбрасывали взвешенную монету.

Понимание этого концепта крайне важно, так как требуется правильный статистический анализ, чтобы определить, зависят ли результаты команды (хорошие или плохие) от удачи или умения.

Исследование дисперсии

Дисперсия обычно обсуждается в терминах стандартных отклонений, и так будет и в дальнейшем в этом обсуждении. Стандартное отклонение — это просто квадратный корень из дисперсии. Стандартное отклонение для серии испытаний дано уравнением 3.

Стандартное отклонение = (Стандартное отклонение для одного события) X (Количество событий)^(1/2)

Уравнение 3

На следующем рисунке показано, насколько вероятны результаты будут попадать в пределах одного, двух и трех стандартных отклонений от ожидаемого результата. В графическом представлении ожидаемое значение обозначается греческой буквой МЮ, а стандартное отклонение — буквой СИГМА.

Согласно кривой Гаусса, существует немногим более 68% вероятности, что результат будет находиться в пределах одного стандартного отклонения плюс или минус от ожидаемого значения. Существует немногим более 95% вероятности, что результаты будут в пределах двух стандартных отклонений плюс или минус от ожидаемого значения. Приблизительно на 100% вероятность, что результаты будут в пределах трех стандартных отклонений в любое время.

Применяя это к сценарию с 100 подбрасываниями монеты, мы приходим к выводу, что стандартное отклонение для 100 испытаний составляет 10 раз стандартное отклонение для одного испытания (которое равно 0,5), что дает стандартное отклонение в 5 для эксперимента с 100 испытаниями.

В сценарии с подбрасыванием монеты мы ожидаем, что 50 из 100 подбрасываний будут выпадать орлом, и 50 — решкой. Включая концепцию стандартного отклонения плюс или минус 5, существует 68% вероятность того, что при 100 подбрасываниях монеты монета выпадет где-то между 45 и 55 орлами и остальными решками.

Применяя уравнения ожидаемого значения и стандартного отклонения к ставке в 100 долларов с преимуществом в 1%, получаем следующие результаты.

Количество рук	Ожидаемое значение	Стандартное отклонение
100	100	± 1,100
10,000	10,000	± 11,000
1,000,000	1,000,000	± 110,000

Графически это представлено следующим образом.

По мере увеличения количества событий стандартное отклонение уменьшается относительно ожидаемого значения. На некотором этапе кривая ожидаемого значения и стандартных отклонений пересекаются.

На этом этапе есть 84% вероятность того, что стандартное отклонение будет меньше ожидаемого значения. Это дает 84% вероятность получения прибыли. Когда количество событий превышает эту точку, процент увеличивается логарифмически. Это показано на следующем графике.

ДЛЯ УПРОЩЕНИЯ ЗНАЧЕНИЕ СТАНДАРТНОГО ОТКЛОНЕНИЯ АБСОЛЮТНОЕ

Точка пересечения между ожидаемым значением и стандартным отклонением находится ниже 12,000 рук. При 12,000 руках есть 84% вероятность того, что ожидаемое значение превысит отрицательное стандартное отклонение, что указывает на положительное математическое ожидание в 84% случаев.

При увеличении общего преимущества, точка «эквивалентности», или количество рук, при котором ожидаемое значение равно стандартному отклонению, достигается за меньшее количество рук. Если вычислить тот же график с преимуществом в 2%, то точка эквивалентности будет равна 5,600 рукам.

ДЛЯ УПРОЩЕНИЯ ЗНАЧЕНИЕ СТАНДАРТНОГО ОТКЛОНЕНИЯ АБСОЛЮТНОЕ

Увеличение преимущества

Самый эффективный способ увеличить преимущество — это иметь большой размах ставок. В идеальном сценарии игрок ставит много, когда есть преимущество, и ничего, когда его нет.

Представьте себе игру, где при подбрасывании монеты, когда выпадает орел, человек получает выплату 2 единиц, а когда выпадает решка, человек должен заплатить 1 единицу. Будете ли вы играть в эту игру? Большинство людей скажут «да».

Однако вы должны убедиться, что у вас достаточно средств, чтобы противостоять любым отрицательным колебаниям, которые могут возникнуть. Если у человека всего 4 единицы для ставок, то возможно, что монета упадет решкой 4 раза подряд, и у человека закончатся средства. Однако если у человека есть 100 единиц, у него будет достаточно средств для преодоления отрицательных колебаний игры, и очень большая вероятность того, что игра окажется прибыльной для игрока.

В казино требуются достаточные средства, чтобы противостоять любым отрицательным колебаниям, которые могут возникнуть. В общем, чем больше у вас средств, тем больше шансов на успех. Вот почему казино часто превосходят игроков, потому что игрок никогда не может продержаться на долгосрочной дистанции и преодолеть статистические «неровности дороги».