Когда большинство людей выходят из казино, они обычно задаются вопросом: «Почему я проиграл?» Это происходит потому, что большинство игр в казино по своей природе имеют отрицательное математическое ожидание для игрока. Это означает, что на каждую ставку, сделанную в игре, на игровой автомате или на карточном столе, казино выплачивает меньше, чем было поставлено.

Например, когда 1 миллион игроков делают ставку по 1 доллару, и один игрок выигрывает 500 000 долларов, казино получает прибыль в 500 000 долларов, а средний проигрыш для каждого игрока составляет 50 центов. В случае игровых автоматов заявленная процентная отдача обычно составляет около 97-99%.

Это относится к всей жизни игрового автомата, где автомат может собрать сотни миллионов долларов за всю свою жизнь. Карточные игры немного отличаются, потому что некоторые из них включают элемент умения, и процентное преимущество казино отличается от игрока к игроку.

Понимание математики, заложенной в казино, является необходимым для оценки результатов. Представленные здесь знания необходимы для определения, являются ли результаты, будь то хорошими или плохими, статистически приемлемыми.

Основы математики

Здесь я расскажу о математике казино, применив анализ к игре в блэкджек. Блэкджек — это игра с переключающимися процентами. И хотя проценты постоянно меняются, накопленный процент общего преимущества остается постоянным. Это достигается путем суммирования преимуществ по всем возможностям.

Например, если одна рука имеет преимущество в +5%, а другая рука имеет преимущество в -4%, то общее преимущество для двух рук составляет +1%. Когда читатель понимает этот подход, легко перенести концепции на любую другую игру в казино с постоянным преимуществом перед игроком (например, слоты или рулетка).

Закон независимых испытаний

Большинство азартных игр отражают математическую концепцию, известную как «закон независимых испытаний». Это означает, что прошлые события не имеют значения для будущих событий. Например, когда подбрасывается монета, существует 50% вероятность того, что выпадет орел и 50% вероятность того, что выпадет решка.

Если монета выпадет 10 раз подряд орлом, то следующий бросок все равно имеет 50% вероятность выпасть орлом. В блэкджеке то, что происходит в прошлом, напрямую влияет на будущее. Блэкджек запоминает карты, и закон независимых испытаний здесь не действует.

В блэкджеке каждая карта имеет определенное значение, которое увеличивает или уменьшает изначальное преимущество казино над игроком. Исходное преимущество вытекает из правил игры. Когда раздаются карты, преимущество либо увеличивается, либо уменьшается. В блэкджеке, когда раздают туз или карту со значением 10, преимущество казино над игроком увеличивается. Когда в игре используются карты меньшего значения (2-7), преимущество казино уменьшается.

Чтобы определить, сколько ожидается выиграть или проиграть за определенное время (как для казино, так и для игрока), требуется три ключевых элемента информации:

1. Размер ставки
2. Количество раздач или спинов
3. Процентное преимущество

В уравнении это записывается следующим образом:

Ожидаемый выигрыш = ставка * % преимущества * количество раздач (или спинов)

Уравнение 1

Когда мы применяем сценарий с ожидаемым значением к подбрасыванию монеты, мы знаем, что у монеты две стороны, поэтому есть 50% вероятность, что выпадет орел, и 50% вероятность, что выпадет решка. Когда мы делаем ставку в 1 доллар на один бросок, уравнение для того, сколько мы ожидаем выиграть за 100 бросков, выглядит так:

$50 = $1 (ставка) * 0,5% (преимущество) * 100 (количество раздач)

Уравнение 2

В этом примере мы сделали ставку в 100 долларов и выиграли 1 доллар при 50 из этих ставок. Мы также смогли сохранить изначальную ставку в 1 доллар при 50 из 100 ставок. Также мы проиграли 1 доллар при 50 ставках. Это приводит к сумме равной нулю.

Рассмотрение вариации

Когда монета подбрасывается 100 раз, результат редко будет точно 50 орлов и 50 решек. Поэтому нам нужно ввести концепцию вариации для определенного количества событий. Вариация — это мера статистической дисперсии. Проще говоря, это касается того, насколько результат испытания или эксперимента отклоняется от ожидаемого значения.

Вернемся к примеру с подбрасыванием монеты. Вариация помогает ответить на вопрос, удивительно ли будет, если мы увидим 45 орлов из 100 испытаний или только 5 орлов из 100 подбрасываний монеты. Ответы: нет и да. Получение только 5 орлов из 100 подбрасываний монеты, конечно, доказало бы, что мы используем неправильную монету. Понимание этого концепта критически важно для оценки результатов игр в казино, так как правильный статистический анализ определяет, обманывает ли игрок или казино.

Вариация обычно обсуждается в терминах стандартных отклонений, и так будет и далее в этом обсуждении. Стандартное отклонение равно квадратному корню из вариации. Стандартное отклонение для серии испытаний представлено греческой буквой σ (сигма) и равно стандартному отклонению каждого события, умноженному на квадратный корень из количества событий. Математическая формула записывается так:

σ (общее) = 〖σ (событие) * √ (количество событий)〗

Уравнение 3

На следующей фигуре показано, насколько вероятны результаты, которые отклоняются от ожидаемого значения на одно, два и три стандартных отклонения. В графическом представлении ожидаемое значение обозначается греческой буквой µ, а стандартное отклонение представляется греческой буквой σ.

Согласно кривой гаусса, есть немного больше 68% шансов, что результат будет находиться в пределах одного стандартного отклонения, плюс или минус от ожидаемого значения. Существует немного больше 95% вероятности того, что результаты будут находиться в пределах двух стандартных отклонений, плюс или минус от ожидаемого значения. Есть приблизительно 99,9% вероятность того, что результаты будут находиться в пределах трех стандартных отклонений в любой момент.

Применяя это к сценарию с 100 подбрасываниями монеты, мы приходим к выводу, что стандартное отклонение для 100 испытаний составляет 10 раз (квадратный корень из 100) стандартное отклонение для одного испытания (которое равно 0,5), что дает стандартное отклонение равное 5 для эксперимента с 100 испытаниями.

В сценарии с подбрасыванием монеты мы ожидаем, что из 100 подбрасываний выпадет 50 орлов и 50 решек. Включая концепцию стандартного отклонения плюс-минус 5, существует 68% шансов того, что в 100 подбрасываниях монеты орел выпадет от 45 до 55 раз. Существует 95% вероятность того, что количество орлов будет от 40 до 60 раз (2 * σ), и 99,9% вероятность того, что количество орлов будет от 35 до 65 раз (3 * σ).

Ожидаемое значение и стандартное отклонение

Применяя уравнения ожидаемого значения и стандартного отклонения к ставке в размере 100 долларов на игру в казино с преимуществом 1% (для игрока или казино), получаем следующие результаты.

**Количество событий**	**Ожидаемое значение**	**1 σ**	** 2σ**	**3σ**
100	100	+ или — 1,100	+ или — 2,200	+ или — 3,600
10,000	10,000	+ или — 11,000	+ или — 22,000	+ или — 33,000
1,000,000	1,000,000	+ или — 110,000	+ или — 220,000	+ или — 330,000

Графически это представляется следующим образом.

С увеличением числа событий стандартное отклонение становится все меньше по отношению к ожидаемому значению. В какой-то точке по кривой ожидаемое значение и стандартные отклонения пересекаются.

На этом этапе существует 84% вероятность того, что стандартное отклонение будет меньше ожидаемого значения. Это означает, что существует 84% вероятность того, что прибыль будет получена впереди и что ваши средства никогда не будут уменьшены до уровня, когда начальные деньги будут меньше начальных средств. Эта точка пересечения для игры с преимуществом 1% показана на следующем графике.

ДЛЯ УПРОЩЕНИЯ ЗНАЧЕНИЕ СТАНДАРТНОГО ОТКЛОНЕНИЯ АБСОЛЮТНО

Точка пересечения между ожидаемым значением и стандартным отклонением находится ниже 12,000 событий. При 12,000 событиях существует 84% вероятность того, что ожидаемое значение превысит отрицательное стандартное отклонение, что означает, что игрок не обанкротится 84% времени.

Точка эквивалентности

Когда общее преимущество увеличивается, «точка эквивалентности», или количество событий, при котором ожидаемое значение равно стандартному отклонению, достигается в меньшем количестве событий. Построение того же графика с преимуществом в 2% показывает точку эквивалентности, которая существенно ниже, приблизительно 5000 событий.

ДЛЯ УПРОЩЕНИЯ ЗНАЧЕНИЕ СТАНДАРТНОГО ОТКЛОНЕНИЯ АБСОЛЮТНО

В итоговом анализе казино могут быстро достигнуть «точки эквивалентности». Это имеет смысл, потому что казино играют 24 часа в сутки, 7 дней в неделю. И поскольку почти все игроки играют с недостатком, казино зарабатывают все больше денег при всё меньшей вариации по отношению к ожидаемому значению.